ابزار ریاضیاتی اندکی برای توصیف سیستم‌های غیرتعادلی وجود دارد، اما ظهور شیوه‌های نوین از مطالعه‌ی مدل انتقال ساده امکان‌پذیر است.

ستون بلندی از گاز را تجسم کنید که برای چندین روز، در دمای ثابت به روی میزی قرار دارد. این گاز هیچ‌گونه تبادل جرم یا انرژی با محیط بیرون خود ندارد. این واقعیت که با حرکت از پایین ستون به سمت بالای آن، چگالی گاز کاهش می‌یابد، برای افرادی که ویژگی‌های آماری گاز ایده‌آل در یک میدان گرانشی مطالعه می‌‌کنند، آشنا است.

در دنیای واقعی، به‌ندرت رخ می‌دهد که سیستمی مانند این ستون گازی در حالت تعادل باشد. در واقع سیستم‌ها با محیط اطراف خود برهم‌کنش دارند، برخی از جالب‌ترین انواع این برهم‌کنش‌ها عبارتند از برهم‌کنش وابسته به زمان، نظیر جریان به ‌وجود آمده از تخلیه‌ی یک خازن، یا حالت پایا، نظیر جریان در مداری که به وسیله‌ی یک باتری تغذیه می‌شود. اکنون ابزار فیزیک آماری به ما اجازه می‌دهد از یک تصویر میکروسکوپیک آغاز کرده و کمیت‌های ماکروسکوپیک و ترمودینامیکی را مانند توزیع چگالی ذرات، آنتروپی، یا انرژی آزاد محاسبه نماییم، پیش‌فرض تمامی این ابزار این است که سیستم در حالت تعادل می‌باشد. سیستم‌های غیرتعادلی را می‌توان به شیوه‌های عددی مطالعه نمود. اما با وجود چندین دهه پژوهش، معرفی توابعی تحلیلی که از آن‌ها بتوان ویژگی‌های آماری سیستم را بدست آورد و درکی از چگونگی رفتار آن‌ها پیدا کرد،‌ دشوار است.

شکل 1. فرایند نامتقارن دفع ساده، مدلکی برای توضیح رفتار غیرتعادلی است. (بالایی) مدلی انتزاعی است. در بازه‌ی زمانی بی‌نهایت کوچک، ذرات در هر مکانی که قرار گرفته باشند، با آهنگ p به مکانی در راست و با آهنگ q به سمت چپ خود حرکت کوچکی می‌کنند، مشروط بر این‌که آن مکان‌ها خالی باشند. شبکه می‌تواند ذرات خود را با دنیای خارج مبادله کند، به این صورت که ذرات به ترتیب با آهنگ‌های α و γ از انتهای سمت چپ زنجیره وارد شبکه شده یا از آن خارج می‌شوند، و ذرات به ترتیب با آهنگ‌های β و δ از انتهای سمت راست زنجیره وارد شده و از آن خارج می‌شوند. (پایینی) از این مدل می‌توان در مطالعه‌ی «ترابرد» پروتئین در طول یک رشته استفاده کرد. در موردی که در این‌جا نشان داده می‌شود، آهنگ‌های حرکت q، γ و δ برابر با صفر هستند.

مقاله‌ای در نشریه‌ی Physical Review letters، از مایک گاریسن و همکارانش از دانشگاه هازلت بلژیک به چاپ رسیده، که سهم چشمگیری در تدوین نظریه‌ای آماری برای توصیف سیستم‌های غیرتعادلی داشته است[1]. آن‌ها به‌طور تحلیلی به توابعی دست یافته‌اند که دقیقاً انتقال حالت پایای ذرات و افت و خیز‌های آماری آن را برای معمول‌ترین حالت توصیف می‌کند. این حالت فرایند طرد نامتقارن ساده‌ (ASEP) نامیده می‌شود[2] که در مدلک تک بعدی به‌طور گسترده برای مطالعه‌ی ترابرد و انتقال مولکولی استفاده می‌شود. نتایج این مطالعات چارچوبی برای ارتباط دادن توصیف میکروسکوپیک سیستم‌های غیرتعادلی به مدل‌های ماکروسکوپیک نظیر «قضیه‌های افت و خیز» فراهم می‌کند.[3]

معمولاً سیستم‌های غیرتعادلی با وجود جریانی شناخته می‌شوند که ناشی از حرکت ذرات یا حامل‌های انرژی است. به‌هرحال، حتی زمانی که این سیستم‌ها به سمت حالت پایه در حال تغییر باشند، به ‌دلیل داشتن ویژگی‌های غیرعادی و افت و خیزهای آماری که بر رفتار میانگین سیستم غالب است، دینامیک آن‌ها می‌تواند بسیار پیچیده باشد. برای مثال، ما همچنان مجبور به تعریف نظریه‌ای میکروسکوپیک برای چگونگی انتشار حرارت در یک نانوسیم هستیم، مانند یک نانولوله‌ی کربنی که در میان دو منبع گرمایی با دماهای مختلف قرار گرفته است: قانون فوریه که توضیح‌دهنده‌ی انتقال حرارت در یک سیم معمولی است، در ابعاد نانو با شکست روبرو می‌شود.

برای بررسی آماری یک سیستم تعادلی، از رابطه‌ی بولتزمن-گیبس استفاده می نماییم که هر حالت و انرژی آن، ε، و وزن آماری متناسب با آن، exp(-ε/k_BT)، را مشخص می‌کند. اگر روش مشابهی برای محاسبه‌ی حالت‌ها برای سیستم‌های غیرتعادلی وجود می‌داشت، می‌توانستیم کمیت‌هایی نظیر انرژی آزاد را محاسبه کنیم، فازهای ترمودینامیکی مختلف ماده‌ی غیرمتعادل را پیش‌بینی نموده، یا چگونگی پاسخگویی این سیستم‌ها به اختلال‌ها (با افت و خیزهای موضعی، جمعی و بلندبرد) را درک کنیم. به‌طور کلی جالب است بپرسیم که آیا ممکن است یک فرمولبندی کلی برای سیستم‌های غیرتعادلی وجود داشته باشد؟

یک رویکرد برای یافتن این فرمولبندی از قوانین میکروسکوپیک، مطالعه‌ی مدل‌های ساده‌ای است که از ماهیت سیستم‌ غیرتعادلی استفاده می‌کنند، ولی همچنان ریاضیات قابل حلی دارند. یک مدل محبوب، مدل «شبکه‌ی گازی برانگیخته» است، که در آن میدان خارجی ذرات را به یک جهت و در طول شبکه حرکت می‌دهد یا خود ذرات برای حرکت از برخی از منابع انرژی بهره می‌گیرند. این مدل‌ها در مطالعه‌ی ترابرد پیاده ای و ماشینی [4 ، 5] و ترابرد موتورهای پروتئینی [5] بکار برده می‌شوند. آن‌ها می‌توانند دینامیک مواد دانه‌ای و شیشه‌ای را نیز توضیح دهند.

در میان مدل‌های شبکه‌ی گازی برانگیخته، فرایند طرد نامتقارن ساده (ASEP) [2] به دلیل سادگی آن، آموزنده‌ترین مدل محسوب می‌شود. (به لحاظ تاریخی، این مدل برای توضیح فعالیت ریبوزومی در طول RNA پیام‌رسان که به سنتز پروتئین‌ها منجر می‌شود، ایجاد شد). در ASEP فرض می‌شود که ذرات در طول زنجیره‌ی گسسته‌ای از فاصله‌ی L حرکت می‌کنند (شکل 1) و هر یک از ذرات می‌توانند به سمت راست یا چپ حرکت کوچکی داشته باشند (ضرورتاً نه با آهنگ برابر)، تنها به این شرط که آن مکان‌ها خالی باشند. اگر این شبکه «باز» باشد، می‌تواند ذرات خود را با منبعی نامتناهی از ذرات در هر یک از دو سر زنجیره، مبادله کند.

آن‌چه مطالعه‌ی یک ASEP را به صورت ریاضی دشوار می‌کند این است که اشغال میانگین ذرات در مکان iامِ،n_i> >، به توابع همبستگی بالاتری نظیر n_in_i+1>> وابسته است که آن نیز به نوبه‌ی خود به n_in_i+1n_i+2>> بستگی دارد، و الی آخر. در نهایت به سلسله مراتبی از معادلات غیرخطی می‌رسیم که حل دقیق آن بسیار دشوار است.

بنابراین روش‌های ریاضیاتی پیشرفته یا تقریب‌های یک مدل خاص، می‌توانند به دو منظور زیر بکار گرفته شوند: برای حل معادله ای موسوم به «معادله‌ مادر«، که بیانگر تحول زمانی توزیع احتمال مربوط به یک پیکربندی میکروسکوپیک توسط همه‌ی گذارهای ممکن میان 2^L پیکربندی‌ سیستم است، و یا ساختن «تابع مولدی» که محاسبه‌ی تمامی توابع همبستگی (گشتاور‌ها و انباشته‌های آماری) یک فرایند تصادفی را امکان‌پذیر می‌کند. تاکنون، پژوهشگران توانسته‌اند این مسأله را به ‌صورت دقیق برای چگالی و جریان میانگین حالت پایا حل کنند [6 و 7]، اما در چند دهه‌ی اخیر آن‌ها به دنبال توابعی تحلیلی بوده‌اند که آمار کامل جریان را در اختیار آن‌ها بگذارد. این آمار یا انباشته‌ها، انحراف معیار نوسانات جریان، تقارن آن‌ها و غیره را توضیح می‌دهد. دانستن آن‌ها عملاً معادل دانستن تمامی حالت‌های ممکن سیستم و وزن آماری مربوطه‌ی آن‌ها است.

در اقدامی ماهرانه، گاریسن و همکارانش بر این سد فائق آمدند. آن‌ها راه‌حلی زیبا برای ساخت و محاسبه‌ی تابع مولد انباشته‌ی مربوط به افت و خیزهای جریان در حالت ایستا برای هر سیستمی با هر اندازه L که شرایط مرزی آزاد دارد، ارائه کردند. به عبارت دیگر آن‌ها روشی ابداع کرده اند که به کمک آن می‌توان تمامی افت و خیزهای آماری ممکن جریان را در حالت پایا به طور دقیق محاسبه کرد. برای این کار، نویسندگان آن روش قدرتمندی را تعمیم دادند که «حل آزمایشی ماتریس ضربی» نامیده می‌شود (شبیه عملگرهای ماتریسی است که بر حالت های برا و کت در مکانیک کوانتومی اثر می‌کنند) [6 و 7] و نتایج آن را به تابع انحرافات بزرگ جریان و تابع مولد انباشته‌ی آن مربوط می‌کند. این توابع که از نظریه‌ی احتمالات حاصل شده‌اند [3 و 8]، نامزدهای اصلی برای تعمیم فرمولبندی بولتزمن-گیبس در سیستم‌های غیرتعادلی هستند و نشان می‌دهند که در سیستم‌های غیرتعادلی می‌توان تا حدودی از جریان به عنوان انرژی آزاد استفاده کرد.

ممکن است به نظر برسد که یک راه حل تحلیلی، شیوه‌ای رضایت‌بخش برای تأیید محاسبات عددی ما می‌باشد، اما در واقع، این راه حل تحلیلی در مسائل پیچیده، نظیر رفتارهای وابسته به زمان، راهنمایی شهودی و مفید خواهد بود. چالش‌های موجود دیگر در این زمینه، توضیح سیستم‌های غیرتعادلی که با منابع متناهی از ذرات در تماس هستند [9]، یا درک دینامیک‌هایی شبیه به ASEP در شبکه‌های پیچیده است [10].

پژوهش‌های گاریسن و همکارانش می‌تواند به تخمین اثرات ابعاد محدود، که در کاربردها و ابزار واقعی وجود دارد، کمک کند. در سیستم‌های بیولوژیکی، ماشین‌های مولکولی نسبت به ابعاد متری دنیای ما، تحت شرایط بسیار متفاوتی کار می‌کنند. به‌طور مشابه در عصری که قطعات الکترونیکی کوچک شده‌اند، باید روش‌هایی بیابیم که اتلاف حرارتی را در مدارهای نانوالکترونیک بهینه کند. این سیستم‌ها افت و خیزهای آماری شدیدی را تجربه می کنند، زیرا کوچک هستند و رفتار آن‌ها به شدت به تغییرات محیط اطرافشان وابسته است. درک ترمودینامیک سیستم‌های کوچک در شرایط غیرتعادلی همچنان یک چالش بزرگ است.

کارهای گاریسن و همکارانش و سایر محققان، ما را به سوی دورنمای جدیدی از پدیده‌ی غیرتعادلی رهنمون می‌سازد، که در آن‌جا می‌توانیم نظریه‌های آماری را با آزمایش‌های واقعی در هر مقیاس فضا-زمانی مقایسه کنیم، مفاهیم جدیدی کشف کرده و از دنیای غیرتعادلی دینامیک، ابزار مفیدی ابداع کنیم.

منبع: http://physics.aps.org/articles/v5/118

مرجع:

1. M. Gorissen, A. Lazarescu, K. Mallick, and C. Vanderzande, “Exact Current Statistics of the Asymmetric Simple Exclusion Process with Open Boundaries,” Phys. Rev. Lett. 109, 170601 (2012).
2. C. T. MacDonald, J. H. Gibbs, and A. C. Pipkin, “Kinetics of Biopolymerization on Nucleic Acid Templates,” Biopolymers 6, 1 (1968).
3. B. Derrida, “Non-Equilibrium Steady States: Fluctuations and Large Deviations of the Density and of the Current,” J. Stat. Mech. P07023 (2007).
4. D. Chowdhury, L. Santen, and A. Schadschneider, “Statistical Physics of Vehicular Traffic and Some Related Systems,” Phys. Rep. 329, 199 (2000).
5. T. Chou, K. Mallick, and R. K. P. Zia “Non-Equilibrium Statistical Mechanics: From a Paradigmatic Model to Biological Transport,” Rep. Prog. Phys. 74, 116601 (2011).
6. G. M. Schütz, in Phase Transitions and Critical Phenomena Vol 19, edited by C. Domb and J. L. Lebowitz (Academic, New York, 2001)[Amazon][WorldCat].
7. R. A. Blythe and M. R. Evans, “Nonequilibrium Steady States of Matrix-Product Form: A Solver’s Guide,” J. Phys. A 40, 333 (2007).
8. H. Touchette, “The Large Deviation Approach to Statistical Mechanics,” Phys. Rep. 478, 1 (2009).
9. D. A. Adams, B. Schmittmann, and R. K. P. Zia, “Far-from-Equilibrium Transport with Constrained Resources,” J. Stat. Mech. P06009 (2008).
10. I. Neri, N. Kern, and A. Parmeggiani, “Totally Asymmetric Simple Exclusion Process on Networks,” Phys. Rev. Lett. 107, 068702 (2011)

نویسنده: آندره پارمگیانی