با در نظر گرفتن فرضیاتی در قوانین فیزیکی حاکم بر دومینو، فاکتور رشد در این فرآیند به میزان 2 ارتقاء پیدا کرده است. در حالی که تا قبل از آن، این مقدار 1.5 در نظر گرفته می‌شد.

«چه تعداد دومینو لازم است تا بتوان دومینویی به ارتفاع برج کلیسای دمتورن ساخت و سپس آن را واژگون کرد؟» این سؤال امتحان علوم دوچ (یک مسابقه‌ی تلویزیونی سالانه در هلند) و نیز یک الهام برای ون لیون، ریاضی-فیزیکدانی از دانشگاه لیدن هلند بوده است.

دمتورن یک برج کلیسای جامع با ارتفاع 112 متر است که در اوترخت هلند قرار دارد. ایده این طور آغاز شده است که با یک دومینو با اندازه‌ی استاندارد، یک دومینوی بزرگتر واژگون می‌شود. این دومینو یک دومینوی بزرگتر را واژگون می‌کند و این روند همین طور ادامه می‌یابد، تا یک دومینو به ارتفاع برج دمتورن واژگون گردد. این فرآیند «ضرب دومینو» (domino multiplication) نام  دارد، زیرا در اصل قطعه‌ی بسیار کوچک ابتدای آن، بزرگترین قطعه‌ی انتها را واژگون می‌کند. اکنون ون لیون حد بالایی را در مورد افزایش اندازه‌ی دومینوهای پی‌در‌پی محاسبه کرده است. در اصل، محاسبات او نشان می‌دهد که حداکثر نسبت ارتفاع دومینوهای پی‌در‌پی می‌تواند حدود 30٪ بیشتر از مقدار پذیرفته شده‌ معمول که به میزان 1.5 است، باشد.

اصول اساسی حاکم بر اثر دومینو ساده است: به هر قطعه‌ هنگام قراردان آن روی یک وجه بر خلاف جهت گرانش زمین، انرژی پتانسیلی داده می‌شود. با کوچکترین ضربه، قطعه انرژی پتانسیل خود را با سقوط کردن آزاد می‌کند و این باعث واژگونی قطعه‌ی بزرگتر مجاور می‌گردد، زیرا انرژی لازم برای سقوط قطعه‌ی بزرگتر بسیار کمتر از انرژی است که در حین سقوط قطعه‌ی کوچکتر آزاد می‌شود.

اثرات دنیای واقعی

 اما در دنیای واقعی همه‌ی انرژی صرف پایین آوردن قطعه‌ی بعدی نمی‌شود. اول از همه، هر قطعه‌ی دومینو هنگام برخورد با دیگری اندکی به عقب برمی‌گردد. بعد، آن‌ها تمایل دارند در اثر ضربه در امتداد سطحی که روی آن قرار دارند، بلغزند. این عامل احتمال سقوط آن‌ها را کاهش می‌دهد یا اینکه موجب می‌شود آن‌ها به سمت قطعه‌ی قبلی برگردند و در نهایت، ممکن است هنگام سقوط در اثر تماس دیگری را باخود بکشند.

ون لیون در مدل خود با در نظر گرفتن فرضیاتی که در ادامه می‌آیند، وضعیت را آسان کرده است: اینکه برخوردها کاملاً ناکشسان هستند. اصطکاک بین قطعه‌های دومینو و سطحی که روی آن قرار دارند بی‌نهایت است، و نیز اینکه این قطعه‌ها هنگام تماس با یکدیگر هیچ اصطکاکی را تجربه نمی‌کنند؛ بنابراین به آسانی با یکدیگر برخورد می‌کنند.

برهمکنش زنجیره‌ای

مدل ایده‌آل ون لیون – با فرض فضای بهینه بین قطعه‌های متوالی، چگالی ثابت و هم‌چنین نسبت ضخامت به ارتفاع و پهنا به ارتفاع ثابت برای همه‌ی قطعه‌ها- نشان می‌دهد که فاکتور رشد ماکزیمم به طور نظری 2 است. به عبارت دیگر اگر زنجیره ادامه دار باشد، هر دومینو نمی‌تواند ارتفاعی بیشتر از دو برابر قطعه‌ی قبلی داشته باشد. تا کنون این عدد به طور معمول تصور می‌شد 1.5 باشد.

ون لیون تصدیق می‌کند: «در دنیای واقعی این فرضیات قابل تحقق نیستند، اما در اصل می‌توان با قرار دادن قطعات روی سطحی با اصطکاک بسیار زیاد و روان سازی سطوح قائم به 2 دست یافت.»

تقویت انرژی

حتی با یک نسبت کمتر، این اثر در تعداد دومینوها قابل توجه است، همان گونه که در ویدئویی توسط استفان موریس از دانشگاه تورنتو نشان داده شده است. موریس یک سری 13 تایی از دومینوها را با نسبت 1.5 واژگون می‌سازد. او ادعا می‌کند که انرژی لازم برای انداختن اولین قطعه با ابعاد ناخن انگشت تا دو میلیارد برابر، هنگام رسیدن به انتهای زنجیره – که یک قطعه‌ی 45 کیلوگرمی با کف برخورد می‌کند- تقویت می‌شود. او می‌گوید: «اگر 29 قطعه داشتم. آخرین قطعه به ارتفاع ساختمان Empire State Building می‌رسید.»

بنابراین اگر با یک قطعه‌ی استاندارد دومینو با ارتفاع 4.8 cm شروع کنیم، چه تعداد برای واژگونی دمتورن لازم است؟ با فرض فاکتور رشد 1.5، 20 قطعه و با رساندن فاکتور رشد به 2، 12 قطعه لازم است.

این کار در arXiv server شرح داده شده است.

منبع: http://physicsworld.com/cws/article/news/2013/jan/15/how-many-dominos-will-topple-a-cathedral-tower